第14讲 图的基本概念 课堂互动 隐藏答案 | 返回首页

作者：欧新宇（XinyuOU）

最后更新：2023-11-26

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【课前自测14】

1. 【北大真题】图中有关路径的定义是（）。
A. 由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列
B. 由不同顶点所形成的序列
C. 由不同边所形成的序列
D. 上述定义都不是

答案及解析：A
本题是北交大考研真题，不同教材对路径的定义可能略有不同，顶点之间关联的边也可理解为路径的构成要素。对于B选项，路径的定义中并没有要求是不同顶点，比如简单回路的第一个顶点和最后一个顶点是可以相同的，此外B选项也没有说明这些顶点之间有边相联。

2. 具有6个顶点的无向图，当有（）条边时能确保是一个连通图。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

答案及解析：D
确保6个顶点的无向图能够构成连通图，则5个顶点时必然时完全无向图，此时边数为n(n-1)/2=10。再加上一条边后，就可以确保无向图必为连通图，此时边数 = 10+1 = 11。

3. 若一个具有n个顶点、e条边的无向图是一个森林，则该森林中必有（）棵树。
A. n
B. e
C. n-e
D. 1

答案及解析：C
n个结点的树有n-1条边，假设森林中有x棵树，则每棵树将减少一条边。可得n-x=e，即森林中有x=n-e棵树。

4. 若图的邻接矩阵中主对角线上的元素皆为0，其余元素全为1，则可以断定该图一定（）。
A. 是无向图
B. 是有向图
C. 是完全图
D. 不是带权图

答案及解析：C
除主对角线上的元素外，其余元素全为1，说明任意两个顶点之间都有边相连，因此该图必然是完全图。

5.从邻接矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 可以看出，该图共有（）个顶点。
A. 9
B. 3
C. 6
D. 1

答案及解析：B
邻接矩阵的顶点数等于矩阵的行（列）数。

6. 若邻接表中有奇数个边表结点，则（）。
A. 图中有奇数个结点
B. 图中有偶数个结点
C. 图为无向图
D. 图为有向图

答案及解析：D
无向图采用邻接表表示时，每条边存储两次，所以其边表结点的个数为偶数。题中边表结点为奇数个，故必然是有向图，且有奇数条边。

7. 以下关于图的存储结构的叙述中，正确的是（）。
A. 一个图的邻接矩阵表示唯一，邻接表表示唯一
B. 一个图的邻接矩阵表示唯一，邻接表表示不唯一
C. 一个图的邻接矩阵表示不唯一，邻接表表示唯一
D. 一个图的邻接矩阵表示不唯一，邻接表表示不唯一

答案及解析：B
在邻接矩阵中，由于图中边的信息在矩阵中有确定的位置，因此邻接矩阵总是唯一的；在邻接表中，由于邻接表的建立取决于读入边的顺序和边表中的插入算法，因此顺序可能不唯一，即邻接表不唯一。

【课堂互动14.1】图的基本概念

1.【2010统考真题】若无向图 G = (V,E) 中含有7个顶点，要保证图G在任何情况下都是连通的，则需要的边数最少是（）。
A. 6
B. 15
C. 16
D. 21

答案及解析：C
要保证n个顶点的图在任何时候都是连通的，可以考虑极端情况，即保证n-1个顶点的图是完全连通图，然后再加1条边。此题中，包含7个顶点，因此，6个顶点的完全连通图的边数为6×(6-1)/2=15。所以，确保7个顶点连通的边数为15+1=16。

2. 以下关于图的叙述中，正确的是（）
A. 图与树的区别在于图的边数大于或等于顶点数
B. 假设有图 G = {V, {E}}，顶点集 $V' \subseteq V, E' \subseteq E$，则V'和{E'}构成G的子图
C. 无向图的连通分量是指无向图中的极大连通子图
D. 图的遍历就是从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点

答案及解析：C

• 图与树的区别是逻辑上的区别，即1:n为树，n:n为图，而不是边数的区别，图的边数也可能小于树的边数，故选项A错；
• 若E中的边对应的顶点不是V'的元素，V'和{E'}无法构成图，故选项B错。
• 无向图的极大连通子图称为连通分量，选项C正确。
• 图的遍历要求每个结点只能被访问一次，且若图非连通则从某一顶点出发无法访问到其他全部顶点，选项D的说法不准确。
  
  

3. 以下关于图的叙述中，正确的是（）。
A. 强连通有向图的任何顶点到其他所有顶点都有弧
B. 图的任意顶点的入度等于出度
C. 有向完全图一定是强连通有向图
D. 有向图的边集的子集和顶点集的子集都构成原有向图的子图

答案及解析：C

• 选项A，强连通有向图的任何顶点到其他所有顶点都有路径，但未必有弧，路径可能来源于多个中继顶点；
• 选项B，无向图任意顶点的入度等于出度，但有向图未必满足；
• 选项C，正确，有向完全图所有顶点之间都有两条方向相反的边相连，因此其一定是强连通图；
• 选项D，若边集中的某条边对应的某个顶点不在对应的顶点集中，则有向图的边集的子集和顶点集的子集无法构成子图。
  
  

4.【2009统考真题】下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是（）。
Ⅰ. 所有顶点的度之和为偶数
Ⅱ. 边数大于顶点个数减1
Ⅲ. 至少有一个顶点的度为1
A. 只有Ⅰ
B. 只有Ⅱ
C. Ⅰ和Ⅱ
D. Ⅰ和Ⅲ

答案及解析：A

• 对于Ⅰ，每条边都关联两个顶点，因此顶点的度数等于边数的2倍，该选项正确。
• 对于Ⅱ，要保证无向图是连通的，至少需要n(n-1)/2+1条边；若一个图包含5个结点，边数大于顶点数-1，意味着至少5条边；然而4个顶点的完全图就需要4×3/2=6条边，这里仅5条边无法保证增加一条边后一定连通。因此，选项Ⅱ错误。
• 对于Ⅲ，存在顶点度数为1的结点只是无向连通图的一种情况，并非总是满足的，例如包含3个结点的环。
  因此，正确的只有Ⅰ，即A选项正确。
  
  

5.【2017统考真题】已知无向图G含有16条边，其中度为4的顶点个数为3，度为3的顶点个数为4，其他顶点的度均小于3。图G所含的顶点个数至少是（）。
A. 10
B. 11
C. 13
D. 15

答案及解析：B
无向图的度数等于边数的2倍，因此图G的总度数为16×2=32。此题给出了度数为4和3的结点个数，它们的总度数为4×3+3×4=24。至此，剩余结点的总度数为32-24=8。为了确保顶点数量最少（至少），剩余的每个结点都应该保证具有尽量多的结点，即度数为2，因此，剩余结点数等于8/2=4。综上，总结点数=4+3+4=11个，选项B正确。

6.【2022统考真题】对于无向图 G = (V,E)，下列选项中，正确的是（）。
A. 当 |V| > |E| 时，G一定是连通的
B. 当 |V| < |E| 时，G一定是连通的
C. 当 |V| = |E| - 1 时，G一定是不连通的
D. 当 |V| > |E| + 1 时，G一定是不连通的

答案及解析：D
对于图G，其最小生成树T的边数=结点数-1，此时是保证连通的最低要求，因此，当|V| > |E| + 1 时，图G必然不连通，选项D正确；类似地，选项C不满足这个条件，所以也是错误的。如果要保证图总是连通，必须确保结点数|V|-1时，是一个无向完全图，因此，当|E|≥(|V|-1)(|V|-2)/2+1时为连通图，选项B、C错误。

【课堂互动14.2】图的存储结构

1. 在含有n个顶点和e条边的无向图的邻接矩阵中，零元素的个数为（）。
A. $e$
B. $2e$
C. $n^2 - e$
D. $n^2 - 2e$

答案及解析：D
无向图的邻接矩阵中，矩阵大小为n²，非零元素的个数为2e，故零元素的个数为n²-2e。

2. 带权有向图G用邻接矩阵存储，则$v_i$的入度等于邻接矩阵中（）。
A. 第i行非 $\infin$ 的元素个数
B. 第i列非 $\infin$ 的元素个数
C. 第i行非 $\infin$ 且非0的元素个数
D. 第i列非 $\infin$ 且非0的元素个数

答案及解析：D
带权有向图的邻接矩阵中，0和表示的都不是有向边。在邻接矩阵中，行表示出度元素，列表示入度元素，因此选项D正确。

3. 一个有n个顶点的图用邻接矩阵A表示，若图为有向图，顶点$v_i$的入度是（）。
A. $\sum^n_{i=1} A[i][j]$
B. $\sum^n_{j=1} A[j][i]$
C. $\sum^n_{i=1} A[j][i]$
D. $\sum^n_{j=1} A[j][i]$ 或 $\sum^n_{j=1} A[i][j]$

答案及解析：B
在邻接矩阵中，有向图的入度是其第i列的非0元素之和。选项A表示结点$A_j$的入度；选项B表示结点$A_i$的入度；选项C表示结点$A_j$的出度；选项D表示结点$A_i$的入度和出度。因此，选项B正确。

4.【2013统考真题】设图的邻接矩阵A如下所示，各顶点的度依次是（）。
$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

A. 1, 2, 1, 2
B. 2, 2, 1, 1
C. 3, 4, 2, 3
D. 4, 4, 2, 2

答案及解析：C
邻接矩阵A为非对称矩阵，说明图是有向图，此时，各个顶点度为入度与出度之和，其中行的非零元素之和对应出度和列的非零元素之和对应入度。顺主对角线从左上往右下计算行和列的和，可得每个顶点的度数。

5. 在有向图的邻接表存储结构中，顶点v在边表中出现的次数是（）。
A. 顶点v的度
B. 顶点v的出度
C. 顶点v的入度
D. 依附于顶点v的边数

答案及解析：C
题中的边表是不包括顶点表的。因为任何顶点u对应的边表中存放的都是以u为起点的边所对应的另一个顶点v。从而v在边表中出现的次数也就是它的入度。

6. n个顶点的无向图的邻接表最多有（）个边表结点。
A. n²
B. n(n-1)
C. n(n+1)
D. n(n-1)/2

答案及解析：B
n个顶点的无向图最多有n(n-1)/2条边，且每条边在邻接表中存储两次，所以边表结点最多为n(n-1)个。从另一个角度看，每个结点的边链表中包含n-1个结点，因此包含n个结点的邻接表的结点总数等于n×(n-1)。

7. 假设有n个顶点、e条边的有向图用邻接表表示，则删除与某个顶点v相关的所有边的时间复杂度为（）。
A. O(n)
B. O(e)
C. O(n+e)
D. O(ne)

答案及解析：C
与顶点v相关的边包括出边和入边，对于出边，只需遍历v的顶点表结点和其指向的边表；对于入边，则需遍历整个边表。先删除出边：删除v的顶点表结点的单链表，出边数最多为n-1。时间复杂度为O(n)；再删除入边：扫描整个边表（即扫描剩余全部顶点表结点及其指向的边表），删除所有的顶点v的入边，时间复杂度为O(n+e)。故总的时间复杂度为O(n+e)

【扩展练习14】

1. 一个有n个顶点和n条边的无向图一定是（）
A. 连通的
B. 不连通的
C. 无环的
D. 有环的

答案及解析：D
若一个无向图有n个顶点和n-1条边，可以使它连通但没有环（即生成树）；但若再加一条边，在不考虑重边的情形下，则必然会构成环。

2. 一个有28条边的非连通无向图至少有（）个顶点。
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

答案及解析：C
考查至少有多少个顶点的情形，我们考虑该非连通图最极端的情况，即它由一个完全图加一个独立的顶点构成，此时若再加一条边，则必然使图变成连通图。在28=n(n-1)/2=8×7/2条边的完全无向图中，总共有8个顶点，再加上1个不连通的顶点，共9个顶点。

3. 对于一个有n个顶点的图：若是连通无向图，其边的个数至少为（）；是强连通有向图，其边的个数至少为（）。
A. n-1, n
B. n-1, n(n-1)
C. n, n
D. n, n(n-1)

答案及解析：A
对于连通无向图，边最少能够构成一棵树的情形，即边数 = 结点数 - 1；对于强连通有向图，边最少应能够构成一个有向环，即在树的情况下加1。

4. 无向图G有23条边，度为4的顶点有5个，度为3的顶点有4个，其余都是度为2的顶点，则图G有（）个顶点。
A. 11
B. 12
C. 15
D. 16

答案及解析：D
设度数为2的顶点共有n个，根据图的的基本性质（度数=顶点数×2）可得关系式：4×5+3×4+2n=2×23。求解后，度为2的顶点数n=7。因此，图G的顶点数 = 7+5+4=16。

5. 在有n个顶点的有向图中，顶点的度最大可达（）。
A. n
B. n-1
C. 2n
D. 2n-2

答案及解析：D
在有向图中，顶点的度等于入度与出度之和。n个顶点的有向图中，任意一个顶点最多还可以与其他n-1个顶点有一对指向相反的边相连。注意数据结构中仅讨论简单图。

6. 设有无向图 G = (V, E) 和 G' = (V', E')，若G'是G的生成树，则下列不正确的是（）。
Ⅰ. G'为G的连通分量
Ⅱ. G'为G的无环子图
Ⅲ. G'为G的极小连通子图且V'=V
A. Ⅰ、Ⅱ
B. 只有Ⅲ
C. Ⅱ、Ⅲ
D. 只有Ⅰ

答案及解析：D
一个连通图的生成树是一个极小连通子图，显然它是无环的，故选项Ⅱ、Ⅲ正确。极大连通子图称为连通分量，它包含源图的所有顶点和边。G'是G的生成树，它连通所有结点，但并不包含所有边，因此它不是G的连通分量。

7. 若具有n个顶点的图是一个环，则它有（）棵生成树。
A. $n^2$
B. $n$
C. $n-1$
D. 1

答案及解析：B
n个顶点的生成树是具有n-1条边的极小连通子图。因为n个顶点构成的环共有n条边，因此，去掉任意一条边都能够获得一棵生成树，所以共有n种情况，可以构成有n棵不同的生成树。

8. 关于图的存储结构，（）是错误的。
A. 使用邻接矩阵存储一个图时，在不考虑压缩存储的情况下，所占用的存储空间大小只与图中的顶点数有关，与边数无关
B. 邻接表只用于有向图的存储，邻接矩阵适用于有向图和无向图
C. 若一个有向图的邻接矩阵的对角线以下的元素为0,则该图的拓扑序列必定存在
D. 存储无向图的邻接矩阵是对称的，故只需存储邻接矩阵的下(或上)三角部分

答案及解析：B

• 选项A，n个顶点的图，若采用邻接矩阵表示，不考虑压缩存储，则存储空间大小为O(n²),选项A正确。
• 选项B，邻接表也可用于存储无向图，每条边都视为两条方向相反的有向边，因此需要存储两次，比较浪费存储空间，选项B错误。
• 选项C，由于邻接矩阵中对角线以下的元素全为0，则表示任何一个顶点只要存在，其列下标必然大于行下标。因此，若存在<i, j>，则必然有i < j，由传递性可知图中路径的顶点编号是依次递增的。假设存在环k->i->j->k，则有k<j<k，与i<j相矛盾，故图中不存在环，所以拓扑序列必定存在，选项C正确。
• 选项D显然正确。
  
  

9. 一个有n个顶点的图用邻接矩阵A表示，若图为无向图，顶点$v_i$的度是（）。
A. $\sum^n_{i=1} A[i][j]$
B. $\sum^n_{j=1} A[j][i]$
C. $\sum^n_{i=1} A[j][i]$
D. $\sum^n_{j=1} A[j][i]$ 或 $\sum^n_{j=1} A[i][j]$

答案及解析：D
在邻接矩阵中，有向图的入度是其第i列的非0元素之和。选项A表示结点$A_j$的入度；选项B表示结点$A_i$的入度；选项C表示结点$A_j$的出度；选项D表示结点$A_i$的入度和出度。在无向图中，结点的入度=出度，因此，选项D正确。

10. 下列哪种图的邻接矩阵是对称矩阵?（）
A. 有向网
B. 无向图
C. AOV网
D. AOE网

答案及解析：B
无向图的邻接矩阵存储中，每条边存储两次，且A[i][j] = A[j][i]。选项C和D都是网，因此都是有向图，而有向图的对称性需要一定的条件，并非总是成立。

11. 若邻接矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 是一个有向图，则该图共有（）条弧。
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2

答案及解析：B
邻接矩阵的顶点数等于矩阵的行（列）数，有向图的边数等于矩阵中非零元素的个数。

12. 邻接多重表是（）的存储结构。
A. 无向图
B. 有向图
C. 无向图和有向图
D. 都不是

答案及解析：A
邻接多重表是无向图的存储结构，选择选项A。

13. 十字链表是（）的存储结构。
A. 无向图
B. 有向图
C. 无向图和有向图
D. 都不是

答案及解析：B
十字链表是有向图的存储结构，选择选项B。

14. 对邻接表的叙述中，（）是正确的。
A. 无向图的邻接表中，第i个顶点的度为第i个链表中结点数的两倍
B. 邻接表比邻接矩阵的操作更简便
C. 邻接矩阵比邻接表的操作更简便
D. 求有向图结点的度，必须遍历整个邻接表

答案及解析：D

• 选项A，在邻接表中，无向图第i个顶点的度为第i个链表中的结点数，有向图的度包括出度和入度，等于第i个链表中结点数的2倍，选项A错。
• 选项B和C，邻接表和邻接矩阵对于不同的操作各有优势，例如删除顶点的操作邻接矩阵更容易，求边的数量邻接表更方便。
  -选项D，计算有向图结点的度包括出度和入度，对于出度，需要遍历顶点表结点所对应的边表：对于入度，则需要遍历剩下的全部边表，故选项D正确。
  
  

15. 用邻接表法存储图所用的空间大小（）。
A. 与图的顶点数和边数有关
B. 只与图的边数有关
C. 只与图的顶点数有关
D. 与边数的平方有关

答案及解析：A
邻接表存储时，顶点数n决定了顶点表的大小，边数e决定了边链表结点的个数，且无向图的每条边存储两次，总存储空间为O(n+2e)，故选项A正确。

16.若邻接矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 是一个无向图，则该图共有（）条边。
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2

答案及解析：D
邻接矩阵的顶点数等于矩阵的行（列）数，无向图的边数等于矩阵中非零元素个数的一半。注意：本题中所给的矩阵为对称矩阵，若不是对称矩阵，则必然不可能是无向图。