第11讲树和二叉树 `课堂互动` 隐藏答案 | 返回首页

作者：欧新宇（Xinyu OU）

最后更新：2023-10-30

【课前自测11】

1. 树最适合用来表示（）的数据。
A. 有序
B. 无序
C. 任意元素之间具有多种联系
D. 元素之间具有分支层次关系

答案及解析：D
树是一种分层结构，它适用于处理元素之间具有层次关系的数据，选项D正确；选项C多种关系一般使用图来进行表示。选项AC显然错误

2. 树的路径长度是从根到每个结点的路径长度的（）。
A. 总和
B. 最小值
C. 最大值
D. 平均值

答案及解析：A
树的路径长度是指根到每个结点路径长度的总和，根到每个结点的路径长度的最大值应是树的高度-1。此题也是树的定义。

3. 设森林F对应的二叉树为B，它有m个结点，B的根为p，p的右子树结点个数为n，森林F中第一棵树的结点个数是（）。
A. m - n
B. m - n - 1
C. n + 1
D.条件不足，无法确定

答案及解析：A
森林转换为二叉树使用的是孩子兄弟表示法，因此根节点和左孩子为森林的第一棵树，而右孩子为森林的其他树。故此题中第一棵树的节点数 = m - n。

4. 森林 $T=(T_1, T_2,.., T_m)$ 转化为二叉树BT的过程为：若 m = 0，则BT为空，若 m ≠ 0，则（）。
A. 将中间子树 $T_{mid} (mid=(1+m)/2)$ 的根作为BT的根；将 $T=(T_1, T_2,.., T_{mid})$ 转换为BT的左子树；将 $T=(T_{mid+1},.., T_m)$ 转换为 BT的右子树。
B. 将子树 $T=T_1$ 的根作为BT的根；将 $T=T_1$ 的子树森林转换成BT的左子树；将 $T=(T_2, T_3,.., T_m)$ 转换成BT的右子树。
C. 将子树 $T=T_1$ 的根作为BT的根；将 $T=T_1$ 的左子树森林转换成BT的左子树；将 $T=T_1$ 的右子树森林转换为BT的右子树；其他以此类推。
D. 将森林的根作为BT的根；将 $T=(T_1, T_2,.., T_m)$ 转化为该根下的结点，得到一棵树，然后将这棵树再转化为二叉B树BT。

答案及解析：B
在森林转换为二叉树的过程中，应满足“左孩子右兄弟”的原则。此题正确的描述只有选项B。

5. 具有10个叶结点的二叉树中有（）个度为2的结点。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

答案及解析：B
根据二叉树的性质， $n_0 = n_2 + 1$ ，因此度为2的结点数 $n_2 = 10 - 1 = 9$ 。

6.设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含的结点数至少为（）。
A. h
B. 2h-1
C. 2h+1
D. h+1

答案及解析：B
本题求二叉树至少有多少个结点，意味着需要使二叉树尽可能的深。此时的二叉树除第一层只有一个根结点，每一层都只有2个元素。若高度为h，则元素个数就是2h-1。

7. 设森林 F 中有3棵树，第一、第二、第三棵树的结点个数分别为M1、M2和M3。与森林F对应的二叉树根结点的右子树上的结点个数是（）。
A. M1
B. M1+M2
C. M3
D. M2+M3

答案及解析：D
在森林转换为二叉树的过程中，应满足“左孩子右兄弟”的原则。因此，本题中生成的二叉树，M2将作为M1的右孩子，M3作为M2的右孩子。所以，根节点的右孩子的结点数等于M2+M3。

【课堂互动11.1】树的基本概念

1. 一棵有n个结点的树的所有节点的度数之和为( )。
A. n-1
B. n
C. n+1
D. 2n

答案及解析：A
除根节点外，树中所有结点都是其他结点的某个孩子。因此，树的所有结点的度数和=结点总数-根结点。当结点数为n时，度数=n-1。该题的结论是树的一个重要结论，经常被用到，需要记牢。

2. 对于一棵具有n个结点、度为4的树来说，（）。
A. 树的高度至多是n-3
B. 树的高度至多是n-4
C. 第i层上至多有4(i-1)个结点
D. 至少在某一层上正好有4个结点

答案及解析：A
树的度数为度数最大结点的度数。此处，度数为4，意味着至少有一个结点包含4个分支。若要求树的高度最高，除该节点外，其他层都只能有一个分支。因此，树的高度=结点数-1=(n-4)+1=n-3，选项A正确。选项C，若i=4，则该层结点数=12个，与度数为4违背，按照度数为4，则该层应该包含4×4=16个结点，显然错误。选项D，有些容易产生字面上的误解，它只说明了某一层正好4个，并没有说明这种情况是最多，最少，还是普遍。若除了该层，其它的某一层包含6个结点，该描述也可以说清楚，但此时树的度数就变成6了。

3. 度为4、高度为h的树（）。
A. 至少有h+3个结点
B. 至多有4h-1个结点
C. 至多有4h个结点
D. 至少有h+4个结点

答案及解析：A
根据题意，有如下条件需要满足：

度数为4，说明至少有一层包含4个元素，且没有任何层包含更多的元素。
若高度为h，则其余层的结点数量至少应有h-1（度数为4的层）个结点。因此，总结点数至少为h-1+4=h+3，A选项正确。
若要求结点最多的情况，则树为所有结点度数都是4的满树，即 $1+4+4^2+...+4^n=\frac{4^{n+1}-1}{3}$ ，选项B和C，都是错的。

4. 假定在一棵度为3的树中，结点数为50，则其最小高度为（）。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案及解析：C
满足题目的树为一个完全三叉树，按照树的性质4可得最小高度为 $\lceil log_m (n(m-1)+1)\rceil = 5$ 。若不记得公式，分析如下：第一层1个结点；第二层3个结点；第三层3×3=9个结点；第四层3×3×3=27个结点；前四层总共1+3+9+27=40个结点。因此，还需要第5层容纳10个结点。故选项C正确。

5. 【2010年统考真题】在一棵度数为4的树T中，若有20个度为4的结点，10个度为3的结点，1个度为2的结点，10个度为1的结点，则树T的叶子个数是（）。
A. 41
B. 82
C. 113
D. 122

答案及解析：B

树T的总度数=所有节点的度数之和=20×4+10×3+1×2+10×1=122；
结点总数 = 所有节点数度数+1=123；
分支数 = 有度数的结点 = 20+10+1+10=41；
叶子数 = 总节点数 - 有分支的结点个数 = 123-41=82

【课堂互动11.2】二叉树的基本概念和性质

1. 下列关于二叉树的说法中，正确的是（）。
A. 度为2的有序树就是二叉树
B. 含有n个结点的二叉树的高度为 $\lfloor log_2 n \rfloor + 1$
C. 在完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是叶结点
D. 含有n个结点的完全二叉树的高度为 $\lceil log_2 n \rceil$

答案及解析：C

有序树是代表结点之间是结点之间是有顺序的，但如果某节点只有一个孩子，那么这个孩子在左边还是右边是无需区分的；而二叉树的左右子树本身就是与次序相关，哪怕只有一个结点，它也必须要确定左右位置，不能混乱。因此，选项A是错误的，选项C是正确的。
在完全二叉树中，树的高度为 $\lfloor log_2 n \rfloor + 1$ ，但对于树来说高度是 $\lfloor log_2 n \rfloor + 1 \sim n$ ，因此选项B和D都是错误的。

2. 假设一棵二叉树的结点个数为50，则它的最小高度是（）。
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案及解析：C
本题求二叉树的最小高度，则意味着需要使二叉树称为完全二叉树，甚至是满二叉树。方法一，根据二叉树的性质，树高 $\lfloor log_2 n \rfloor + 1 = \lfloor log_2 50 \rfloor + 1 = 6$ 。方法二，逐项列举，前5层结点数 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31，第6层结点数 = 32。此处，树的高度为50，刚刚超过5层，但未达到第6层满配的31+32=63。因此，二叉树高度为6。

3. 已知一棵完全二叉树的第6层（设根为第1层）有8个叶结点，则完全二叉树的结点个数最少是（）。
A. 39
B. 52
C. 111
D. 119

答案及解析：A
第6层有8个叶结点，说明该完全二叉树包含6层或7层。若要求结点最少，则树的深度只能为6。此时，前5层为满二叉树，结点数为 $2^h-1=31$ 。加上第6层的8个结点，总结点数=31+8=39个。

4. 若一棵深度为6的完全二叉树的第6层有3个叶结点，则该二叉树共有（）个叶结点。
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20

答案及解析：A
深度为6的完全二叉树，第6层有3个结点，对应于第五层前2个结点。又因为第5层的结点数等于 $2^{5-1}=16$ 个，所以第5层的叶节点数=16-2=14。加上第6层的3个结点，叶节点的总数为14+3=17个。

5. 一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶结点的个数是（）。
A. 250
B. 500
C. 254
D. 501

答案及解析：D
在完全二叉树中，结点个数 $n=n_0+n_1+n_2$ ，又有 $n_2+1=n_0$ ，联立两个等式可得 $2n_0 + n_1 -1 = n =1001$ 。且完全二叉树度数为1的结点 $n_1$ 只能为0或1。因此，设 $n_1=0$ ，可得 $n_0=501$ ； $n_1=1$ ，无法求得整数。所以， $n_0=501$ ，选项D正确。

6. 若一棵二叉树有126个结点，在第7层（根结点在第1层）至多有（）个结点。
A. 32
B. 64
C. 63
D. 不存在第7层

答案及解析：C
要结点最多，则二叉树为完全二叉树。此时，前6层的顶点数 $= 2^6-1 = 63$ 个。因此第7层的个数为126-63=63个。注意，第7层的上限为 $2^{7-1}=64$ 。

7. 一棵有124个叶结点的完全二叉树，最多有（）个结点。
A. 247
B. 248
C. 249
D. 250

答案及解析：B
在完全二叉树中，度数为0和2的结点数存在关系 $n_0=n_2+1$ ，可得 $n_2=124-1=123$ ，总结点数 $n=n_0+n_1+n_2=124+n_1+123=247+n_1$ 。度为1的结点的个数为0或1，取最大值1，则总结点数 $=247+1=248$ 。

8. 在一颗完全二叉树中，其根的序号为1，（）可判定序号为 p和q的两个结点是否在同一层。
A. $\lfloor log_2 p \rfloor = \lfloor log_2 q \rfloor$
B. $log_2 p = log_2 q$
C. $\lfloor log_2 p + 1 \rfloor = \lfloor log_2 q \rfloor$
D. $\lfloor log_2 p \rfloor = \lfloor log_2 q + 1 \rfloor$

答案及解析：A
根据二叉树的性质，编号为i的结点位于第 $\lfloor log_2 i \rfloor + 1$ 层。因此，如果p，q位于同一层，则有 $\lfloor log_2 p \rfloor + 1 = \lfloor log_2 q \rfloor + 1$ ，也即 $\lfloor log_2 p \rfloor = \lfloor log_2 q \rfloor$ 。

9. 假定一棵三叉树的结点数为50，则它的最小高度为（）。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案及解析：C
对于三叉树而言，第i层的节点数为 $3^{i-1}$ ，因此存在高度为h的三叉树的结点数上限为 $3^0 + 3^1 + 3^2 +...+ 3^{i-1} = \frac{1(1-3^{i-1})}{1-3} = （3^{i-1} - 1）/2$ ，即 $（3^{i-1} - 1）/2 \geq 50 => i = 5$ 。

10. 对于一棵满二叉树，共有n个结点和m个叶结点，高度为h的，则（）。
A. n = h + m
B. n + m = 2h
C. m = h - 1
D. $n = 2^h - 1$

答案及解析：D
高度为h的满二叉树，其结点数 $n = 2^0 + 2^1 +...+ 2^{h-1} = 2^h - 1$

11.【2009统考真题】已知一颗完全二叉树的第6层（设根为第1层）有8个叶结点，则该完全二叉树的结点个数最多是（）。
A. 39
B. 52
C. 111
D. 119

答案及解析：C
完全二叉树的第6层有8个叶结点，有两种可能。一是，二叉树有6层，第6层包含8个叶结点。二是，二叉树有7层，第6层包含8个叶结点，其余都是分支结点。要使得该完全二叉树结点数最多，则肯定是第二种方法。此时，第7层结点数由第6层分支数决定。第6层节点总数为 $2^{6-1}=32$ ，因此，分支数=32-8=24。此时，第7层叶子的数量=24×2=48。总结点数 = 前6层结点个数+第7层结点个数 $= 2^6-1 + 48 = 63+48 = 111$ 。

12.【2011统考真题】若一棵完全二叉树有768个结点，则该二叉树中叶结点的个数是（）。
A. 257
B. 258
C. 384
D. 385

答案及解析：C
根据完全二叉树的性质，有 $n_0 + n_1 + n_2 = n, n_2 = n_0 - 1$ ，于是有 $n_0 + n_1 + n_0 - 1 = 768 => 2n_0 + n_1 = 769$ 。因为 $n_1$ 取值为0或1，次数只能是1，所以可得 $n_0 = 384$ 。

13.【2018统考真题】设一棵非空完全二叉树T的所有叶结点均位于同一层，且每个非叶结点都有2个子结点。若T有k个叶结点，则T的结点总数是（）。
A. $2k - 1$
B. $2k$
C. $k^2$
D. $2^k - 1$

答案及解析：A
非空完全二叉树，若所有叶结点都位于同一层，则说明该二叉树是一个满二叉树。若T有k个叶结点，则最后一层的结点数 $k = 2^{h-1}$ ，此时结点总数等于 $2^h - 1 = 2k -1$ 。另一种方法，在二叉树中，分支结点数 = 叶节点数 - 1，即 k-1。所以，总结点数 = k + k - 1 = 2k -1。

【课堂互动11.3】二叉树的存储结构

1. 以下说法中，正确的是（）。
A. 在完全二叉树中，叶结点的双亲的左兄弟（若存在）一定不是叶结点
B. 任何一棵二叉树中，叶结点数为度为2的结点数减1，即 $n_0 = n_2 - 1$
C. 完全二叉树不适合顺序存储结构，只有满二叉树适合顺序存储结构
D. 结点按完全二叉树层序编号的二叉树中，第i个结点的左孩子的编号为2i

答案及解析：A
选项A，完全二叉树满足顺序存储的要求，因此若叶节点的双亲的左兄弟存在，则它一定也包含2个叶子结点；
选项B，叶结点的数量应等于度数为2的结点数加1。该公式满足所有二叉树，以三层完全满二叉树为例，叶子结点为4，非叶结点为3；
选项C，满二叉树和完全二叉树都可以使用顺序存储；
选项D，完全二叉树第i结点也可能是叶子结点，此时无法计算左孩子，因此错误。

2.【2020统考真题】对于任意一棵高度为5且有10个结点的二叉树，若采用顺序存储结构保存，每个结点占1个存储单元（仅存放结点的数据信息），则存放该二叉树需要的存储单元数量至少是（）。
A. 31
B. 16
C. 15
D. 10

答案及解析：A
对于高度为5的二叉树，如果使用顺序存储，为了保证任意性，需要考虑一个满二叉树的空间来存储，即 $2^5-1=31$ 。

3. 一棵有n个结点的二叉树采用二叉链存储结点，其中空指针数为（）。
A. n
B. n+1
C. n-1
D. 2n

答案及解析：B
n个结点的二叉树，除根以外，每个结点都是一个结点的后继，因此每个结点都占用了一个指针域，即非空指针为n-1。在二叉链中，由于每个结点都包含两个指针域；因此，指针域的总数等于结点数的两倍，即2n个结点。所以，空指针域的数量 = 指针域的数量 - 非空指针域的数量 = 2n - (n - 1) = n + 1。

【课堂互动11.4】森林与二叉树的转换

1.下列关于树的说法中，正确的是（）。
I. 对于有 n 个结点的二叉树，其高度为 $log_2 n$
II. 完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是叶结点
III. 高度为h(h>0)的完全二叉树对应的森林所含的树的个数一定是h
IV. 一棵树中的叶子数一定等于与其对应的二叉树的叶子数

A. I 和 III
B. IV
C. I 和 II
D. II

答案及解析：D
选项A，若二叉树是一个单分支的二叉树，则其深度为n。
选项B，构建完全二叉树时，必须保证先有左孩子，再有右孩子；因此，若不存在左孩子，那必然也不存在右孩子，所以是一个叶子结点。
选项C，对于满二叉树，该性质才成立。
选项D，在树转换为二叉树的过程中，若树中存在多个结点具有同一个双亲，则它们转换后只剩一个叶结点，因此转换前后叶子结点没有直接的对应关系

2. 【2011统考真题】已知一棵有2011个结点的树，其叶结点个数为116，该树对应的二叉树中无右孩子的结点个数是（）。
A. 115
B. 116
C. 1895
D. 1896

答案及解析：D
在树转换为二叉树的过程中，所有分支的最后一个孩子都没有右孩子，根结点也没有右孩子。本题可以使用特殊情况法进行验证。如下图，构建一个高度为1895的单支树，但最后一层包含116个叶子结点。将该树转换成二叉树后，变为右图的折叠的单支二叉树。此此没有右孩子的结点包括主干的1895个结点和最后一个结点，共计1895+1=1896个。
🏷️Img_Lec1101

3. 【2014统考真题】将森林F转换为对应的二叉树T，F中叶结点的个数等于（）。
A. T中叶结点的个数
B. T中度为1的结点个数
C. T中左孩子指针为空的结点个数
D. T中右孩子指针为空的结点个数

答案及解析：C
根据“左孩子右兄弟”原则：

选项A，T中的叶子结点，左节点来源于树的左孩子，右结点则来源于树中叶子结点的兄弟结点。
选项B，T中度为1表示在F中只包含左孩子，或者只包含兄弟的结点。若某个结点只包含一个左孩子，则该结点就不再是叶子结点，因此该项错误。
选项C，T中左孩子指针为空意味着其在F中不存在长子，换句话说该结点在F中是没有孩子结点的，也就是叶子结点，选项C正确。
选项D，T中的右孩子指针为空，表示没有兄弟的结点，但没有兄弟结点并不意味着没有孩子，例如根结点在T中右孩子指针就为空，但它依然可能有兄弟，因此该选项显然不符合要求。

4.【2016统考真题】若森林F有15条边、25个结点，则F包含树的个数是（）。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

答案及解析：C
对于树来说，一个重要的性质是对于n个结点的树，边数为n-1。此题，边数为15、结点数为25，即结点数比边数多10，因此森林包含10棵树。

5.【2022统考真题】如果三叉树T中有244个结点（叶结点的高度为1），那么T的高度至少是（）。
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5

答案及解析：C
求T的最低高度，说明三叉树满足完全二叉树的要求，即每层结点数为 $3^0, 3^1,..., 3^n$ 。在本题中，前5层的节点数为：1+3+9+27+81 = 121，第6层节点数为243。因此，本题的244个结点应该包含6层，其中前五层121个结点，第六层122个结点。选项C正确。

【扩展练习11】

1. 已知一棵度数为4的树中，度数为0，1，2，3的节点数分别为14，4，3，2，求该树的结点总数n和度为4的结点个数，并给出推导过程。

答案及解析：
设度数为4的结点个数为n4，则：
树中所有结点的总度数 = 0×14+1×4+2×3+3×2+4×n4 = 16+4×n4
树的结点数 = 总度数+1 = 17+4×n4
有分支结点数 = 度数为非0的结点数 = 4+3+2+n4 = 9+n4
叶子树 = 度数为0的结点数 = 14
树的总结点数 = 有分支结点树 + 叶子数 => 17+4×n4 = 9+n4 + 14 => n4 = 2
树的结点数 = 17+4×n4 = 25
答：该树的结点总数为25，度数为4的结点数为2。

2. 设X是树T中的一个非根结点，B是T所对应的二叉树。在B中，X是其双亲结点的右孩子，下列结论中正确的是（）。
A. 在树T中，X是其双亲结点的第一个孩子
B. 在树T中，X一定无右边兄弟
C. 在树T中，X一定是叶结点
D. 在树T中，X一定有左边兄弟

答案及解析：D
在树向二叉树的转换过程中，左孩子依然是左孩子，兄弟会变为前一个兄弟的右孩子。因此，在B中，若X是其双亲的右孩子，则它在T中它们一定是兄弟关系，且X是右兄弟。

3. 在森林的二叉树表示中，结点M和结点N是同一父结点的左儿子和右儿子，则在该森林中（）。
A. M和N有同一双亲
B. M和N可能无公共祖先
C. M是N的儿子
D. M是N的左兄弟

答案及解析：B
M和N是同一父结点的左儿子和右儿子，则在原来的森林中，M是父结点的左孩子，N是父节点的兄弟结点。因此，选项C和D都是错误的。选项A，是一种可能，但也可能M和N分属于不同的树，因此A过于武断。选项B和选项A刚好相反，描述的是一种可能的情况。

4. 利用二叉链表存储森林时，根结点的右指针是（）。
A. 指向最左兄弟
B. 指向最右兄弟
C. 一定为空
D. 不一定为空

答案及解析：D
在使用二叉链表存储森林时，通常需要先将森林转换为二叉树。若森林存在多棵树，则右指针指向的是第二棵树的根结点；若森林只存在一棵树，则右指针指向空值。因此，只有选项D是正确的。选项B和C都有可能发生。

5. 设F是一个森林， B是由F变换来的二叉树。若F中有n个非终端结点，则B中右指针或为空的结点有（）个。
A. n - 1
B. n
C. n + 1
D. n + 2

答案及解析：C
根据森林与二叉树转换的“左孩子右兄弟”规则，
1.森林中的最后一棵树的的根节点右指针为空；
2.每个非终端结点的最后一个孩子在转换后，也没有右孩子，右指针为空。
所以，B中右指针为空的结点树为n+1。

6. 设二叉树有2n个结点，且 m<n，则不可能存在（）的结点。
A. n个度为0
B. 2m个度为0
C. 2m个度为1
D. 2m个度为2

答案及解析：C
根据二叉树性质可知， $n_0 = n_2 + 1$ ，结点总数 $= 2n = n_2 + n_1 + n_0 = 2n_2 + n_1 + 1$ ，因此， $n_1 = 2(n-n_1)-1$ ，即 $n_1$ 必然为奇数。

7. 一个具有1025个结点的二叉树的高h为（）。
A. 11
B. 10
C. 11~1025
D. 10~1024

答案及解析：C

当二叉树为单支树时，具有最大高度。此时，树高等于结点数1025。
当二叉树为完全二叉树时，具有最小高度。此时，树高为 $\lfloor log_2 n \rfloor + 1 = \lfloor log_2 1025 \rfloor + 1 = 11$ 。（ $log_2 1024 = 10$ ）

8. 设二叉树只有度为0和2的结点，其结点个数为15，则该二叉树的最大深度为（）。
A. 4
B. 5
C. 8
D. 9

答案及解析：C
由于二叉树只有度为0和2的结点，因此，除根结点外，其余各层都只有2个结点。设树高为h，则有2h-1=15 => h=8

9. 高度为h的完全二叉树最少有（）个结点。
A. $2^h$
B. $2^h+1$
C. $2^{h-1}$
D. $2^h-1$

答案及解析：C
高度为h-1的完全二叉树的结点数 $1 + 2^1 + 2^2 +...+ 2^{h-1} = \frac{1(1-2^{h-1})}{1-2} = 2^{h-1}-1$ ，第h层至少有1个结点。因此，最少结点为 $2^{h-1}$ 。

10. 【2009统考真题】将森林转换为对应的二叉树，若在二叉树中，结点u是结点v的父结点的父结点，则在原来的森林中，u和v可能具有的关系是（）。
I. 父子关系 II. 兄弟关系 III. u的父结点与v的父结点是兄弟关系
A. 只有II
B. I和II
C. I和III
D. I、II和III

答案及解析：B
情况I，当v是u的左孩子的左孩子时，转换为二叉树，u依然是v的父节点的父节点；
情况II，当v是u的右兄弟的右兄弟是，转换为二叉树，u依然是v的父节点的父节点；
情况II，若u和v的父节点是兄弟，则转换为二叉树后，u和v将属于不同的分支，不可能再属于同一分支。
因此，正确选项为I和II。

11. 在一棵完全二叉树中，含有 $n_0$ 个叶结点，当度为1的结点数为1时，该树的高度是多少?当度为1的结点数为0时，该树的高度是多少?

答案及解析：
根据二叉树的性质有 $n = n_0 + n_1 + n_2, n_2 = n_0 - 1$ ，所以， $n = 2n_0 + n_1 - 1$ 。
1.若 $n_0$ = 0，则二叉树的高 $h = \lceil log_2 (n+1) \rceil = \lceil log_2 2n_0 \rceil = \lceil log_2 n_0 \rceil + 1$ 。
若 $n_0$ = 1，则二叉树的高 $h = \lceil log_2 (2n_0+1) \rceil$ 。

12. 一棵有n个结点的满二叉树有多少个分支结点和多少个叶结点?该满二叉树的高度是多少?

答案及解析：

在满二叉树中，只存在度数为2和度数为0的结点，于是有 $n_2 + n_0 = n$ 。根据二叉树的性质有 $n_0 - 1 = n_2$ ，于是有 $n_0 - 1 + n_0 = n => n_0 = \frac{n+1}{2}$ 。代入 $n_0 - 1 = n_2$ 可得 $n_2 = \frac{n-1}{2}$ 。
根据二叉树的性质，高度为h的满二叉树的结点数等于 $2^h-1 = n => h = log_2(n+1)$

13. 已知完全二叉树的第9层有240个结点，则整个完全二叉树有多少个结点?有多少个叶结点?

答案及解析：
根据二叉树的性质，第9层包含结点数上限为 $2^{9-1} = 256个$ 。此时，结点数为240个，说明第9层没有满，且有256-240=16个空位。换句话说，第8层有16/2=8个结点没有孩子，因此它们也是叶结点。所以，叶子结点的总数为240+8=248个。
另一方面，二叉树结点总数等于前8层结点数之和加上叶子结点数，即 $2^8-1 + 240 = 495$ 个。